TEMA 2. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

Repaso de fracciones, decimales, raíces y notación científica

Explicación sencilla con ejemplos, como en el libro de texto.

Fracciones Equivalentes Suma y resta Producto y división Combinadas con fracciones Fracciones y decimales Operaciones con decimales Raíces cuadradas Comparación Notación científica

1. Qué es una fracción

Una fracción representa una parte de una cantidad.

• Numerador: indica cuántas partes tomamos.
• Denominador: indica en cuántas partes iguales está dividida la unidad.

Si una pizza se divide en 8 partes iguales y comemos 3, lo escribimos:

$\frac{3}{8}$

Se lee “tres octavos”.

Si el numerador es mayor que el denominador, la fracción es impropia.

Si el numerador es menor que el denominador, es una fracción propia.

Una fracción también puede representar un número entero, por ejemplo $\frac{12}{4}$ representa el número 3.

2. Fracciones equivalentes y fracción irreducible

2.1 Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.

Ejemplo:

$$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}$$

Hemos multiplicado numerador y denominador por el mismo número (por 2 y por 3).

Amplificar una fracción es multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número.

Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

Si ya no se puede simplificar más, la fracción es irreducible.

Ejemplo de simplificación:

$$\frac{24}{60}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$$

La fracción irreducible es $\frac{2}{5}$.

Pista: si numerador y denominador terminan en 0, 2, 4, 5, 6 u 8, casi siempre se puede simplificar dividiendo entre 2 o entre 5.

2.2 Reducción a común denominador

Para poder sumar, restar o comparar fracciones con distinto denominador, las reducimos a común denominador.

1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2. Buscamos fracciones equivalentes con ese denominador común.

Reducir a común denominador las fracciones

$\frac{5}{6}y\frac{7}{9}$

• m.c.m.(6, 9) = 18
• $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$
• $\frac{7}{9}=\frac{14}{18}$

3. Suma y resta de fracciones

3.1 Con el mismo denominador

Se suman o se restan solo los numeradores y se deja el denominador igual.

$$\frac{a+c}{b}$$ $$\frac{a-c}{b}$$

Ejemplo de suma:

$$\frac{5}{9}+\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$$

Ejemplo de resta con resultado negativo:

$$\frac{3}{9}-\frac{7}{9}=\frac{-4}{9}$$

3.2 Con distinto denominador

1. Reducimos las fracciones a común denominador.
2. Sumamos o restamos las fracciones ya reducidas.
3. Simplificamos el resultado si es posible.

Ejemplo:

Calcular

$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$

1. m.c.m.(3, 4) = 12
2. $$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$$ $$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$$
3. $$\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$$

4. Multiplicación, división y potencias de fracciones

4.1 Producto de fracciones

Multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

$$\frac{a·c}{b·d}$$

Ejemplo:

$$\frac{2}{3}·\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$$

4.2 Potencias de una fracción

Elevamos el numerador y el denominador al exponente.

$${\frac{a}{b}}^n=\frac{a^n}{b^n}$$

Ejemplo:

$${\frac{2}{3}}^2=\frac{4}{9}$$

4.3 Fracción inversa y división

La fracción inversa de una fracción se obtiene intercambiando numerador y denominador.

Dos fracciones son inversas si su producto es la unidad.

Todos los números tienen inverso excepto el cero.

Ejemplo de inversas:

$$\frac{3}{5}·\frac{5}{3}=\frac{15}{15}=1$$

Dividir por una fracción es multiplicar por su inversa.

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a·d}{b·c}$$

5. Operaciones combinadas con fracciones

Orden de las operaciones:

1. Paréntesis
2. Potencias
3. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)
4. Sumas y restas (de izquierda a derecha)

Ejemplo sin paréntesis:

Calcular

$\frac{2}{3}·\frac{1}{2}+\frac{5}{3}$

1. $$\frac{2}{3}·\frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
2. $$\frac{1}{3}+\frac{5}{3}=\frac{6}{3}=2$$

Ejemplo con paréntesis:

${(1-\frac{1}{2})}^2·\frac{4}{3}$

1. Paréntesis: 1 − 1/2 = 1/2.
2. Potencia: (1/2)² = 1/4.
3. Multiplicación: 1/4 · 4/3 = 1/3.

6. Fracciones y números decimales

6.1 Expresión fraccionaria de un decimal exacto

Para escribir un decimal exacto como fracción:

1. Escribimos el número sin la coma como numerador.
2. El denominador es 10, 100, 1000, etc., según las cifras decimales.
3. Simplificamos si es posible.

Ejemplo:

3,27

$$\mathrm{3,27}=\frac{327}{100}$$

6.2 Expresión decimal de una fracción

Dividimos el numerador entre el denominador.

Ejemplo:

$$\frac{7}{20}=\mathrm{0,35}$$

6.3 Tipos de decimales

Miramos la fracción irreducible y su denominador:

• Si solo tiene factores 2 y 5, el decimal es exacto.
• Si no tiene factores 2 ni 5, el decimal es periódico puro.
• Si tiene factores 2 o 5 y otros, el decimal es periódico mixto.

Ejemplos:

• $\frac{40}{20}=2$ → decimal exacto.
• $\frac{10}{3}$ → 3,333… decimal periódico puro.
• $\frac{32}{15}$ → 2,1333… decimal periódico mixto.

Para indicar el período usamos una barra encima de las cifras que se repiten.

Por ejemplo, el decimal

$\mathrm{0,}\overline{3}$

significa 0,3333…

Los números que se pueden escribir como fracción se llaman números racionales y se representan con la letra Q.

7. Operaciones combinadas con números decimales

El orden de las operaciones es el mismo que con fracciones:

1. Paréntesis
2. Potencias
3. Multiplicaciones y divisiones
4. Sumas y restas

Ejemplo sin paréntesis:

0,27 × 3,2 + 36,57 ÷ 5,3 − 2,09

1. 0,27 × 3,2 = 0,864.
2. 36,57 ÷ 5,3 = 6,9.
3. 0,864 + 6,9 − 2,09 = 5,674.

Ejemplo con paréntesis:

12,3 − 3,2 · (5,7 − 4,3) + 0,896 + 1,92

1. Paréntesis: 5,7 − 4,3 = 1,4.
2. Multiplicación: 3,2 × 1,4 = 4,48.
3. Operaciones restantes: 12,3 − 4,48 + 0,896 + 1,92 = 10,636 ≈ 10,64.

8. Raíces cuadradas con cifras decimales

8.1 Idea de raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es el número que, al multiplicarse por sí mismo, da ese número.

• √25 = 5 porque 5 · 5 = 25.
• √36 = 6 porque 6 · 6 = 36.

8.2 Cuando la raíz no es exacta

Algunos números no tienen raíz cuadrada entera. Por ejemplo, √30.

En estos casos obtenemos un número decimal infinito. Usamos la calculadora o el método de la raíz para aproximar.

√30 ≈ 5,4772.

Es una aproximación, porque hemos cortado el número decimal.

8.3 Redondeo y truncamiento

Redondear un número decimal:

• Miramos la cifra siguiente a la que queremos dejar.
• Si esa cifra es mayor o igual que 5, sumamos una unidad a la cifra que dejamos.
• Si es menor que 5, la cifra que dejamos no cambia.

Con √30 ≈ 5,4772:

• Redondeado a las décimas: 5,5.
• Redondeado a las centésimas: 5,48.
• Redondeado a las milésimas: 5,477.

Truncar un número decimal:

Se eliminan las cifras que están después del orden que queremos y no se mira si son mayores o menores que 5.

Con √30 ≈ 5,4772:

• Truncado a las décimas: 5,4.
• Truncado a las centésimas: 5,47.
• Truncado a las milésimas: 5,477.

9. Comparación de fracciones

Para saber qué fracción es mayor podemos usar varios métodos.

• Si tienen el mismo denominador, es mayor la que tenga mayor numerador.
• Si tienen el mismo numerador, es mayor la que tenga menor denominador.
• Si son distintas, podemos usar los productos cruzados.

Ejemplo con productos cruzados:

$$\frac{5}{7}?\frac{3}{5}$$

Calculamos los productos cruzados:

• 5 · 5 = 25.
• 7 · 3 = 21.

Como 25 es mayor que 21, se cumple:

$$\frac{5}{7}>\frac{3}{5}$$

10. Notación científica para números grandes

La notación científica sirve para escribir de forma sencilla números muy grandes o muy pequeños.

Por ejemplo, el radio de la Tierra se puede escribir así:

$$\mathrm{6,378}·{10}^6\text{metros}$$

Un número en notación científica se escribe como producto de dos factores:

• Un número decimal con una sola cifra distinta de cero en la parte entera.
• Una potencia de 10 cuyo exponente es un número entero. Este exponente se llama orden de magnitud.

Forma general:

$a·{10}^n$

donde 1 ≤ a < 10 y n es un número entero.

Multiplicar un número decimal por una potencia de 10 es lo mismo que mover la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente.

• 4,52 · 10 = 45,2.
• 4,52 · 10² = 452.
• 4,52 · 10³ = 4520.

10.1 Ordenar números en notación científica

Para ordenar números escritos en notación científica seguimos dos pasos:

1. Comparamos primero los órdenes de magnitud (los exponentes de la potencia de 10).
2. Si los exponentes son iguales, comparamos solo los números decimales.

Ejemplo: ordenar de menor a mayor

$$\mathrm{2,42}·{10}^6,\mathrm{3,375}·{10}^6,\mathrm{6,085}·{10}^6,\mathrm{6,378}·{10}^6$$

Tienen el mismo exponente 6, así que ordenamos los decimales:

2,42 < 3,375 < 6,085 < 6,378.

10.2 Suma de números en notación científica

Para sumar números en notación científica con el mismo exponente de 10:

1. Comprobamos que las potencias de 10 tienen el mismo exponente.
2. Sumamos los números decimales.
3. Dejamos la misma potencia de 10.
4. Si hace falta, ajustamos el resultado para que quede en notación científica.

Ejemplo:

$$\mathrm{9,72}·{10}^7+\mathrm{5,9}·{10}^7+\mathrm{5,841}·{10}^7$$

Como todas las potencias son 10⁷, sumamos los decimales:

9,72 + 5,9 + 5,841 = 21,461.

$$\mathrm{21,461}·{10}^7$$

Ajustamos para que solo haya una cifra distinta de cero en la parte entera:

21,461 = 2,1461 · 10.

$$\mathrm{21,461}·{10}^7=\mathrm{2,1461}·{10}^8$$

El resultado en notación científica es:

2,1461 · 10⁸.